Solu��o do Desafio 008

Atualmente h� muitas refer�ncias para a solu��o dos chamados quadrados m�gicos (este � o "nome do jogo"), mas aqui, vamos utilizar um racioc�nio intuitivo para buscar a solu��o deste desafio:

Nossa primeira preocupa��o ser� encontrar grupos de 3 algarismos distintos cuja soma seja 15. O processo dever� ser o mais natural poss�vel, consistindo em organizar fam�lias do menor para o maior algarismo.

• Come�ando com a fam�lia do 1, poder�amos pensar em 2 para o pr�ximo elemento do grupo, mas ainda faltaria 12 para atingirmos a soma 15. Ent�o, o segundo algarismo deve ser 5 para que o terceiro seja o maior poss�vel, ou 9, de modo a se ter a soma 15. Com este procedimento obteremos a fam�lia de grupos de algarismos come�ando com 1:

  1	5	9
  1	6	8

  A fam�lia do 1 s� possui 2 grupos e n�o foi poss�vel utilizar os algarismos 2, 3, 4, 7.

• A pr�xima fam�lia ser� dos grupos come�ando com 2. e os outros dois membros dever�o somar 13:

  2	4	9
  2	5	8
  2	6	7

  Algarismos n�o utilizados: 1, 3.

• Fam�lia do 3:

  3	4	8
  3	5	7

  Algarismos n�o utilizados: 1, 2, 6, 9.

• Fam�lia do 4:

  4	2	9
  4	3	8
  4	5	6

  Algarismos n�o utilizados: 1, 7.

• Fam�lia do 5:

  5	1	9
  5	2	8
  5	3	7
  5	4	6

  Os 9 algarismos foram utilizados!

• Fam�lia do 6:

  6	1	8
  6	2	7
  6	4	5

  Algarismos n�o utilizados: 3, 9.

• Fam�lia do 7:

  7	2	6
  7	3	5

  Algarismos n�o utilizados: 1, 4. 8, 9.

• Fam�lia do 8:

  8	1	6
  8	2	5
  8	3	4

  Algarismos n�o utilizados: 7, 9.

• Fam�lia do 9:

  9	1	5
  9	2	4

  Algarismos n�o utilizados: 3, 6. 7, 8

A configura��o do chamado "Jogo da Velha" � conhecida como Matriz 3 × 3, isto �, um conjunto entrela�ado de 3 linhas e 3 colunas formando um "quadrado" com 9 c�lulas. No caso presente, os 9 algarismos devem ocupar as 9 c�lulas de tal forma que, em qualquer linha, em qualquer coluna ou em qualquer diagonal, a soma dos 3 algarimos seja sempre 15, formando o chamado Quadrado M�gico 3 × 3

Considera��es sobre o Quadrado M�gico 3 × 3 cuja soma � igual a 15:

• A c�lula central pertence simultaneamente � linha central, � coluna central e �s duas diagonais, formando quatro grupos de algarismos onde um deles � comum a todos.

• A familia do 5 � a �nica que re�ne 4 grupos de algarismos, o que nos leva a concluir que o algarismo 5 deve ocupar a posi��o central da matriz:

  	5

• Por observa��o, verificamos que h� 4 fam�lias com 3 grupos (2, 4, 6, 8) e 4 fam�lias com 2 grupos (1, 3, 7, 9). Em qualquer caso, h� sempre um grupo contendo o algarismo 5.

• Observamos ainda que, das c�lulas v�rtices do quadrado, s�o gerados sempre 3 grupos de algarismos, ocupando uma linha, uma diagonal e uma coluna. Dessa forma, as fam�lias de 3 grupos, isto �, 2, 4, 6 e 8, devem ocupar tais posi��es:

  2		4
  	5
  6		8

• Resta-nos portanto "encaixar" as familias de 2 grupos, isto �, 1, 3, 7 e 9 nas c�lulas ainda vazias, tomando o cuidado de verificar, em cada caso, se a soma com os demais algarismos da mesma linha ou coluna totaliza 15:

  2	9	4
  7	5	3
  6	1	8

O resultado acima seria uma resposta plenamente satisfat�ria ao desafio proposto. Por�m devemos ainda considerar algumas outras possibilidades.
O fato de escolhermos o primeiro v�rtice para a posi��o do algarismo 2 foi de pura conveni�ncia porque poder�amos escolher qualquer dos demais v�rtices para iniciar o racioc�nio.
Geometricamente, a escolha dos demais v�rtices significa promover uma "rota��o" na matriz onde o eixo de rota��o seria perpendicular ao papel. Vamos ent�o escolher o sentido anti-hor�rio para rota��es sucessivas de 90 graus. Dessa forma obtemos mais 3 solu��es poss�veis:

4 3 8 9 5 1 2 7 6

8 1 6 3 5 7 4 9 2

6 7 2 1 5 9 8 3 4

Tomemos a primeira solu��o e imaginemos um outro tipo de rota��o na qual o eixo agora seria vertical, pertencente ao plano do papel e, digamos, passando pelo centro da matriz. Vamos promover uma rota��o de 180 graus (os n�meros permanecem como s�o):

4	9	2
3	5	7
8	1	6

Se nesta nova solu��o promovermos mais 3 rota��es de 90 graus com o eixo perpendicular ao plano do papel, encontraremos mais 3 solu��es poss�veis:

2 7 6 9 5 1 4 3 8

6 1 8 7 5 3 2 9 4

8 3 4 1 5 9 6 7 2

Resposta:

Ao reunirmos todas as solu��es acima teremos um conjunto de 8 quadrados m�gicos como solu��o ao desafio proposto:

2 9 4 7 5 3 6 1 8

4 3 8 9 5 1 2 7 6

8 1 6 3 5 7 4 9 2

6 7 2 1 5 9 8 3 4

4 9 2 3 5 7 8 1 6

2 7 6 9 5 1 4 3 8

6 1 8 7 5 3 2 9 4

8 3 4 1 5 9 6 7 2

Nota Final:

Poder�amos ainda pensar em promover uma rota��o com eixo horizontal, mas em 2D, como ver�amos, as solu��es seriam redundantes, isto �, coincidiriam com as solu��es j� encontradas.