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Funções Logarítmica e Exponencial

FUNÇÕES INVERSAS

Em linguagem comum, o termo " inversão" transmite a idéia de uma reversão. Por exemplo, em meteorologia, a inversão da temperatura é uma reversão nas propriedades usuais da temperatura de camadas de ar; em música, uma inversão é um tema recorrente que usa as mesmas notas na ordem reversa. Em matemática, o termo inversa é usado para descrever funções que são reversas uma da outra, no sentido que cada uma desfaz o efeito da outra.       

A idéia de resolver uma equação y = f (x) para x com uma função de y, digamos x = g(y), é uma das idéias mais importantes da matemática. Às vezes, resolver esta equação é um processo simples; por exemplo usando álgebra básica, a equação

                y = f (x)

pode ser resolvida para x como uma função de y:

              x = g (y)

A primeira equação é melhor para calcular y se x for conhecido, e a segunda é melhor para calcular x se y for conhecido        

O interesse fundamental é identificar relações que possam existir entre as funções f e g,  quando uma função y=f(x) for expressa como x = g(y), ou ao contrário. Por exemplo, consideremos as funções    e discutidas acima. Quando funções forem compostas em qualquer ordem, uma cancela o efeito da outra significando que

A primeira dessas equações estabelece que cada saída de uma composição g(f(x)) é igual à entrada, e a segunda estabelece que cada saída da composição f(g(y)) é igual à entrada. Os pares de funções com essas duas propriedades são tão importantes que há uma terminologia específica para elas.     

Se as funções f e g satisfazem as duas condições

g(f(x)) = x para todo x no domínio de f

f(g(y)) = y para todo y no domínio de g

então, dizemos que f e g são funções inversas. Além disso, chamamos f uma inversa de g e g uma inversa de f.  

Exemplo

Confirme cada um dos seguintes itens.

(a)   A inversa de         

(b)   A inversa de  

Solução (a).

Solução (b).

OBSERVAÇÃO. O resultado no exemplo deve fazer sentido intuitivamente para você, uma vez que as operações de multiplicar por 2 e multiplicar por em qualquer ordem cancelam uma o efeito da outra, da mesma que as operações de elevar ao cubo e extrair a raiz cúbica.

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