A hipótese de Riemann
A invenção do Cálculo Diferencial e Integral provocou um dos maiores avanços no pensamento ocidental. O trabalho monumental realizado por Newton e Leibniz propiciou o avanço da ciência em todas as suas áreas. O matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783) foi um dos pioneiros em aplicar os métodos do Cálculo a problemas de Teoria dos Números dando origem à Teoria Analítica dos Números. Entretanto, o matemático alemão G. F. B. Riemann (1826-1866) é reconhecido como o verdadeiro fundador da Teoria Analítica dos Números e como possuidor de uma das mentes brilhantes mais originais e profundas do século XIX.
Riemann revolucionou a Análise Matemática, a Geometria e a Física Matemática. Em Teoria Analítica dos Números, bem como em outras áreas da Matemática, suas idéias fundamentais ainda exercem uma profunda influência. Variedades Riemannianas, Superfícies de Riemann, Equações de Cauchy – Riemann, Hipótese de Riemann, e muitos outros assuntos encontram-se entre seus trabalhos.
Riemann possuía uma intuição poderosa e precisa, mas apesar de sua genialidade e criatividade, sua vida foi extremamente modesta. Riemann morreu prematuramente de tuberculose. A sua timidez, a sua falta de habilidade como orador, e seu talento nato para a Matemática, fizeram com que ele não seguisse a carreira de teólogo, contrariando a vontade paterna. O matemático alemão Lejeune Dirichlet (1805-1859) foi seu professor e exerceu grande influência em seu trabalho.
Em 1851, Riemann completou o doutorado sob orientação do grande matemático alemão K. F. Gauss (1777-1855) que afirmou: “Riemann é possuidor de uma originalidade gloriosamente fértil”. Um fato peculiar é que a chave para alguns dos problemas contemporâneos mais essenciais reside em uma conjectura feita por Riemann.
Denominada de Hipótese de Riemann, essa conjectura representa um dos problemas mais importantes da Matemática.
Tudo começou quando Euler definiu em 1740 uma função denotada pela letra grega ς ( lê-se “zeta”). A função zeta de Euler associa a todo número real maior que 1 um novo número real
.
É interessante notar que, substituindo s pelo número 2, Euler descobriu
que
(2) = π2/6. Ele observou que essa função daria informações sobre o
padrão dos números primos e, assim, nascia a Teoria Analítica dos Números,
ou seja, o estudo dos números primos por meio do Cálculo aplicado à investigação
de propriedades de algumas funções complexas.
Funções complexas são funções definidas no conjunto dos números complexos que assumem valores complexos. Não dá para enxergar um gráfico de uma função dessas porque ele tem dimensão quatro. Porém, é possível com a ajuda de um bom software obter os gráficos das partes real e imaginária de uma tal função.
Convém observar que existem inúmeras funções zeta e alguns matemáticos costumam dizer que Teoria dos Números é o estudo de funções zeta. Entretanto, qual é a relação entre os números primos e a função zeta de Euler?
Euler demonstrou o impressionante teorema que afirma que para qualquer número real s maior que 1, a função zeta se expressa como um produto infinito de fatores da forma
qualquer que seja o número primo p, ou seja,
.
Essa função foi investigada por Riemann, detalhadamente, quando ele substituiu o número real s por um número complexo, o que tornou a função zeta uma função complexa. Ou seja , ς(s) é o número complexo:
, para
Re(s) > 1.
[Re(s) significa a parte real do número complexo.]
A função zeta não está definida para todos os números complexos. Entretanto, Riemann percebeu, utilizando uma técnica da Teoria das Funções Complexas, que era possível estender a função zeta para todos os números complexos, exceto para o número z = 1. Assim, a função zeta passou a ser chamada de função zeta de Riemann.
Em 1859, Riemann publicou um artigo brilhante de oito páginas, seu único artigo em Teoria dos Números, onde usava a função zeta para investigar o padrão dos primos. Seu objetivo era demonstrar a Conjectura de Gauss, hoje conhecida como Teorema do Número Primo, que afirmava que a quantidade de números de primos entre 1 e x, quando x é muito grande, é aproximadamente x dividido pelo logaritmo natural de x, isto é,
x / ln x.
Embora Riemann não tenha obtido sucesso, o seu trabalho foi importantíssimo para o desenvolvimento da Teoria Analítica dos Números. Vários resultados foram obtidos por ele quando da investigação das propriedades dessa função. Riemann mostrou que propriedades dessa função estão intimamente ligadas à distribuição dos números primos, ou seja, à seqüência natural dos números primos no conjunto dos números inteiros positivos.
Riemann esquematizou o caminho de futuros progressos dessa investigação em uma série de conjecturas bem fundamentadas dentre as quais a famosa “Hipótese de Riemann”. Em 1896, o matemático francês J. Hadamard e o matemático belga C. J. de la Vallée – Poussin demonstraram, independentemente, o Teorema do Número Primo utilizando as idéias desenvolvidas por Riemann.
Consideremos a equação ς(s) = 0. Então, qualquer número complexo s que resolva essa equação é denominado um “zero” da equação.
Riemann observou, primeiramente, que os inteiros negativos pares –2, -4 –6, ... são zeros da função. Depois observou que deveriam existir infinitos zeros complexos e, então, estabeleceu de forma audaciosa a conjectura de que qualquer outro zero complexo da função zeta possui parte real igual a ½, ou seja, têm a forma s = ½ + b i.
Portanto, todos os zeros da função zeta que não são números reais estarão na reta vertical x = ½. Essa reta é geralmente chamada de reta crítica.
A primeira coisa a observar é que os zeros da reta crítica não são reais, colocam-se simetricamente em relação ao eixo real e também em relação à própria reta crítica. Essa é a célebre hipótese de Riemann. É sem dúvida, um problema muito importante, pois o conhecimento dos zeros da função zeta se traduz por um conhecimento mais profundo da distribuição dos números primos.
No primeiro semestre de 2004 a demonstração dessa conjectura foi anunciada pelo matemático francês Louis de Branges de Bourcia e se encontra sob exame por especialistas. Esse matemático já anunciara outras vezes ter demonstrado essa famosa conjectura, mas erros foram encontrados em suas demonstrações.
A Matemática exerce grande fascínio nos homens e alguns milionários, apesar de não serem matemáticos, estimulam a pesquisa matemática. Esse é o caso do norte-americano, magnata de fundos de investimentos e amante da matemática, Landon Clay, que criou em Cambridge, Massachussets, uma organização sem fins lucrativos destinada a promover e financiar a pesquisa em Matemática: o Clay Mathematics Institute (CMI).
Em um encontro realizado no Collège de France em Paris, em maio de 2000, o CMI anunciou uma oferta de sete prêmios, cada um no valor de um milhão de dólares, pela descoberta de soluções para cada um dos sete problemas considerados os mais importantes, mais difíceis e mais desafiadores da Matemática. Um pequeno comitê formado pelos matemáticos mais importantes da atualidade escolheu esses problemas que passaram a se chamar os “Problemas do Milênio”.
A Hipótese de Riemann foi considerada um dos problemas do milênio, pois é o problema mais importante da Matemática ainda não resolvido que tem conseqüências em Física e profundas repercussões na Teoria da Informação como, por exemplo, na questão da segurança na Internet. Essas conseqüências, que representam um componente essencial da vida atual, serão o tema de nossa próxima coluna.
