Resposta do desafio 8

No tabuleiro do jogo da velha

Solução enviada pelo usuário Valerio Deo.

Atualmente há muitas referências para a solução dos chamados quadrados mágicos (este é o "nome do jogo"), mas aqui, vamos utilizar um raciocínio intuitivo para buscar a solução deste desafio:

Nossa primeira preocupação será encontrar grupos de 3 algarismos distintos cuja soma seja 15. O processo deverá ser o mais natural possível, consistindo em organizar famílias do menor para o maior algarismo.

• Começando com a família do 1, poderíamos pensar em 2 para o próximo elemento do grupo, mas ainda faltaria 12 para atingirmos a soma 15. Então, o segundo algarismo deve ser 5 para que o terceiro seja o maior possível, ou 9, de modo a se ter a soma 15. Com este procedimento obteremos a família de grupos de algarismos começando com 1:

  1	5	9
  1	6	8

  A família do 1 só possui 2 grupos e não foi possível utilizar os algarismos 2, 3, 4, 7.

• A próxima família será dos grupos começando com 2. e os outros dois membros deverão somar 13:

  2	4	9
  2	5	8
  2	6	7

  Algarismos não utilizados: 1, 3.

• Família do 3:

  3	4	8
  3	5	7

  Algarismos não utilizados: 1, 2, 6, 9.

• Família do 4:

  4	2	9
  4	3	8
  4	5	6

  Algarismos não utilizados: 1, 7.

• Família do 5:

  5	1	9
  5	2	8
  5	3	7
  5	4	6

  Os 9 algarismos foram utilizados!

• Família do 6:

  6	1	8
  6	2	7
  6	4	5

  Algarismos não utilizados: 3, 9.

• Família do 7:

  7	2	6
  7	3	5

  Algarismos não utilizados: 1, 4. 8, 9.

• Família do 8:

  8	1	6
  8	2	5
  8	3	4

  Algarismos não utilizados: 7, 9.

• Família do 9:

  9	1	5
  9	2	4

  Algarismos não utilizados: 3, 6. 7, 8

A configuração do chamado "Jogo da Velha" é conhecida como Matriz 3 × 3, isto é, um conjunto entrelaçado de 3 linhas e 3 colunas formando um "quadrado" com 9 células. No caso presente, os 9 algarismos devem ocupar as 9 células de tal forma que, em qualquer linha, em qualquer coluna ou em qualquer diagonal, a soma dos 3 algarimos seja sempre 15, formando o chamado Quadrado Mágico 3 × 3

Considerações sobre o Quadrado Mágico 3 × 3 cuja soma é igual a 15:

• A célula central pertence simultaneamente à linha central, à coluna central e às duas diagonais, formando quatro grupos de algarismos onde um deles é comum a todos.

• A familia do 5 é a única que reúne 4 grupos de algarismos, o que nos leva a concluir que o algarismo 5 deve ocupar a posição central da matriz:

  	5

• Por observação, verificamos que há 4 famílias com 3 grupos (2, 4, 6, 8) e 4 famílias com 2 grupos (1, 3, 7, 9). Em qualquer caso, há sempre um grupo contendo o algarismo 5.

• Observamos ainda que, das células vértices do quadrado, são gerados sempre 3 grupos de algarismos, ocupando uma linha, uma diagonal e uma coluna. Dessa forma, as famílias de 3 grupos, isto é, 2, 4, 6 e 8, devem ocupar tais posições:

  2		4
  	5
  6		8

• Resta-nos portanto "encaixar" as familias de 2 grupos, isto é, 1, 3, 7 e 9 nas células ainda vazias, tomando o cuidado de verificar, em cada caso, se a soma com os demais algarismos da mesma linha ou coluna totaliza 15:

  2	9	4
  7	5	3
  6	1	8

O resultado acima seria uma resposta plenamente satisfatória ao desafio proposto. Porém devemos ainda considerar algumas outras possibilidades.

O fato de escolhermos o primeiro vértice para a posição do algarismo 2 foi de pura conveniência porque poderíamos escolher qualquer dos demais vértices para iniciar o raciocínio.
Geometricamente, a escolha dos demais vértices significa promover uma "rotação" na matriz onde o eixo de rotação seria perpendicular ao papel. Vamos então escolher o sentido anti-horário para rotações sucessivas de 90 graus. Dessa forma obtemos mais 3 soluções possíveis:

Tomemos a primeira solução e imaginemos um outro tipo de rotação na qual o eixo agora seria vertical, pertencente ao plano do papel e, digamos, passando pelo centro da matriz. Vamos promover uma rotação de 180 graus (os números permanecem como são):

Se nesta nova solução promovermos mais 3 rotações de 90 graus com o eixo perpendicular ao plano do papel, encontraremos mais 3 soluções possíveis:

Resposta:

Ao reunirmos todas as soluções acima teremos um conjunto de 8 quadrados mágicos como solução ao desafio proposto:

Nota Final:

Poderíamos ainda pensar em promover uma rotação com eixo horizontal, mas em 2D, como veríamos, as soluções seriam redundantes, isto é, coincidiriam com as soluções já encontradas.

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