Soma dos n termos de uma PA

Considere a PA finita:

(5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19).

Note que:

Observe:

5 + 19 = 24 → soma dos extremos

7 + 17 = 24 → soma de dois termos equidistantes dos extremos

9 + 15 = 24 → soma de dois termos equidistantes dos extremos

11 + 13 = 24 → soma de dois termos equidistantes dos extremos

Baseada nessa ideia, existe a seguinte propriedade:

Numa PA finita, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual a soma dos extremos.

Através dessa propriedade, podemos descobrir a fórmula para a soma dos n termos de uma PA:

 Vamos considerar a PA finita . Podemos representar por a soma dos termos dessa PA.

Como a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual a soma dos extremos, a soma da PA é dada pela soma dos extremos vezes a metade do número de termos , pois em cada soma estão envolvidos dois termos.

Assim, temos a fórmula da soma dos n termos de uma PA:

• = soma dos n termos 
• = primeiro termo
• = enésimo termo
• n = número de termos

Observação: Através dessa fórmula, podemos calcular a soma dos n primeiros termos de uma PA qualquer, basta determinarmos o número de termos que queremos somar.

Exemplo 1

Qual a soma dos 10 primeiros termos da PA  (1, 4, 7, ...) ?

Resolução
Primeiramente, temos de descobrir qual é o 10º termo dessa PA:

Conhecendo o valor do 10º termo, podemos calcular a soma dos 10 primeiros termos dessa PA:

Portanto, a soma dos 10 primeiros termos da PA (1, 4, 7, ...) é 145.

Exemplo 2

A soma dos n primeiros números pares positivos de uma PA é 132. Encontre o valor de n.

Resolução

Primeiramente, vamos descobrir qual é o enésimo termo:

Substituindo na fórmula da soma dos termos:

Portanto, a soma dos 11 primeiros números pares positivos é 132.