📄 Elipse: definição e elementos
📄 Equações da elipse
📄 Hipérbole: definição e elementos
📄 Equações da hipérbole
📄 Hipérbole equilátera
📄 Parábola: definição e elementos
📄 Equações da parábola
📄 Problemas resolvidos sobre cônicas
📄 Exercícios sobre cônicas
Equações da hipérbole
Na equação reduzida da hipérbole, os termos quadráticos aparecem com sinais diferentes. Com o segundo membro igual a 1, se o termo com x² for positivo, os ramos se abrem para a esquerda e para a direita; se o termo com y² for positivo, eles se abrem para cima e para baixo.
Nas fórmulas abaixo, a é a distância do centro a cada vértice, b é o semieixo conjugado e c é a distância do centro a cada foco, com c² = a² + b². As retas tracejadas nas figuras são as assíntotas.
Centro na origem: C(0, 0)
Ramos horizontais
Focos: (±c, 0). Assíntotas: y = ±(b/a)x.
Ramos verticais
Focos: (0, ±c). Assíntotas: y = ±(a/b)x.
Centro C(h, k)
Quando o centro está fora da origem, h e k são suas coordenadas. Substituímos x por x − h e y por y − k. As assíntotas continuam passando pelo centro da hipérbole.
Horizontal
Assíntotas: y − k = ±(b/a)(x − h).
Vertical
Assíntotas: y − k = ±(a/b)(x − h).
Exemplo 1
Na hipérbole x²/9 − y²/16 = 1:
- a = 3 e b = 4;
- c = √(9 + 16) = 5;
- vértices (−3, 0) e (3, 0);
- focos (−5, 0) e (5, 0);
- assíntotas y = ±(4/3)x.
Exemplo 2 — centro deslocado
Em (y − 2)²/25 − (x + 1)²/9 = 1, o centro é C(−1, 2), os ramos são verticais, a = 5, b = 3 e c = √34.
Focos: (−1, 2 ± √34).
O centro está 1 unidade à esquerda e 2 unidades acima da origem. Os vértices são (−1, −3) e (−1, 7). As assíntotas se cruzam em C(−1, 2).
