Divisões sucessivas

Vamos supor que P(x) é divisível por (x – a) e o quociente dessa divisão é divisível por (x – b).

Será que P(x) é divisível por (x – a)(x – b)?

Note que:

, então:

Portanto, P(x) é divisível por (x - a)(x - b).

Exemplo 1

Verifique se  é divisível por (x - 1)(x - 2):

Resolução

Dividindo P(x) por (x – 1):

Como , P(x) é divisível por (x – 1).

Dividindo  por (x – 2):

Como , é divisível por (x – 2).

Assim, P(x) é divisível por (x – 1) e o quociente dessa divisão é divisível por (x – 2); logo P(x) é divisível pelo produto (x – 1)(x – 2).

Exemplo 2

Verifique se  é divisível por  e obtenha o quociente final:

Resolução

Note que .

Vamos fazer, num só dispositivo, as divisões de P(x) por (x - 1), do quociente obtido nessa divisão por (x + 1) e do novo quociente por      (x – 2) (as divisões sucessivas não precisam ser feitas obrigatoriamente nessa ordem):

Podemos concluir então que P(x) é divisível por  e que .