Séries

Definição: Se {a_n} é uma sequência, então a soma infinita:

a₁ + a₂ + a₃ + ... + a_n + ... =

é chamada série.

Cada número a_i é um termo da série;

a_n é o termo genérico de ordem n.

Para definir a soma de infinitas parcelas, consideram-se as somas parciais

S₁ = a₁
S₂ = a₁ + a₂
S₃ = a₁ + a₂ + a₃
------------------------
S_n = a₁ + a₂ + a₃ + ... + a_n-1 + a_n

E a sequência das somas parciais

S₁, S₂, S₃, ..., S_n, ...

Se essa sequência tem limite S, então a série converge e sua soma é S.

Ou seja: Se  , então a série converge e sua soma é  a₁+a₂+a₃+...+a_n... = S

Se a sequência {S_n} não tem limite, então a série diverge.

Teorema

Se a série converge, então .

Obs: * A recíproca desse teorema é falsa, isto é, existem séries cujo termo genérico tende a zero e que não são convergentes.

* Vale a contrapositiva: "se o limite não é zero, então a série não converge", que constitui o seguinte teste.

Teste da divergência

Dada a série  ,  diverge.