Coeficiente angular

Chamamos de coeficiente angular da reta r o número real m tal que:

O ângulo é orientado no sentido anti-horário e obtido a partir do semi-eixo positivo Ox até a reta r. Desse modo, temos sempre . Assim:

• para (a tangente é positiva no 1º quadrante)

• para (a tangente é negativa no 2º quadrante)

Exemplos:

Determinação do coeficiente angular

Vamos considerar três casos:

a) o ângulo é conhecido

b) as coordenadas de dois pontos distintos da reta são conhecidas: A(x_A, y_A) e B(x_B, y_B)

Como ( ângulos correspondentes) temos que .

Mas, m = tg     Então:

Assim, o coeficiente angular da reta que passa, por exemplo, por A(2, -3) e B(-2, 5) é:

c) a equação geral da reta é conhecida

Se uma reta passa por dois pontos distintos A(X_A, Y_A) e B(X_B, Y_B), temos:

Aplicando o Teorema de Laplace na 1ª linha, vem:

(Y_A - Y_B)x + (X_B - X_A)y + X_AY_A - X_BY_B = 0

Da equação geral da reta, temos:

Substituindo esses valores em  , temos:

Equação de uma reta r, conhecidos o coeficiente angular e um ponto de r

Seja r uma reta de coeficiente angular m. Sendo P(X₀, Y₀), P r, e Q(x,y) um ponto qualquer de r(QP), podemos escrever:

Como exemplo, vamos determinar a equação geral da reta r que passa por P(1, 2), sendo m=3. Assim, temos X₀=1  e Y₀=2. Logo:

y-y₀=m(x-x₀)
y-2 = 3(x - 1)
y-2 = 3x - 3
3x - y - 1 = 0

que é a equação geral de r.