Diferenciação logarítmica

Consideremos agora uma técnica chamada diferenciação logarítmica, a qual é útil para diferenciar funções compostas de produtos, de quocientes e de potências.

Exemplo

A derivada de  

é relativamente difícil de ser calculada diretamente. Contudo, se primeiro tomarmos o logaritmo natural de ambos os lados e, então, usarmos suas propriedades, podemos escrever:

Diferenciando ambos os lados em relação a x, resulta

Assim, resolvendo para dy/dx e usando    obtemos

OBSERVAÇÃO.Uma vez que 1n y é definido apenas para y > 0, a diferenciação logarítmica de y = f(x) é válida apenas nos intervalos onde f(x) for positiva. Assim, a derivada mostrada no exemplo é válida no intervalo ( 2, + ), uma vez que a função dada é positiva para x > 2. Contudo, a fórmula é realmente válida também no intervalo ( - , 2). Isso pode ser visto tomando-se valores absolutos antes de prosseguir com a diferenciação logarítmica e notando que está definido para todo y exceto em y = 0. Se fizermos isso e simplificarmos usando as propriedades de logaritmos e dos valores absolutos, obteremos

Diferenciando ambos os lados em relação a x dá lugar a   , e, portanto, resulta em   .Em geral, se a derivada de y = f(x) for obtida por diferenciação logarítmica, então a mesma fórmula para  dy/dx resultará tomando-se ou não, primeiro, valores absolutos. Assim, uma fórmula da derivada obtida por diferenciação logarítmica será válida, exceto nos pontos onde f(x) for zero. A fórmula pode ser válida também naqueles pontos, mas não é garantido.