📄 Domínio e imagem das funções inversas
📄 Gráficos das funções inversas
📄 Funções logarítmica e exponencial
📄 Logaritmos
📄 Funções logarítmicas
📄 Funções definidas explicitamente e implicitamente
📄 Diferenciação implícita
📄 Derivadas de potências racionais de x
📄 Derivadas de funções logarítmicas
📄 Diferenciação logarítmica
📄 Derivadas de funções exponenciais
📄 Derivadas das funções trigonométricas inversas
Gráfico das funções inversas
O próximo objetivo é explorar as relações entre os gráficos de f e
.
Com esse propósito, será desejável usar x como a variável
independente para ambas as funções, o que significa estarmos comparando os
gráficos de y = f(x) e y = (x).
Se (a,b) for um ponto no gráfico y = f(x), então b
= f(a). Isto é equivalente à afirmativa que a = (b),
a qual significa que (b,a) é um ponto no gráfico de y = (x).
Em resumo, inverter as coordenadas de um ponto no gráfico de f produz um
ponto no gráfico de .
Analogamente inverter as coordenadas de um ponto no gráfico de
produz um ponto no gráfico de f . Contudo, o efeito geométrico de
inverter as coordenadas de um ponto é refletir aquele ponto sobre a reta y
= x (figura 1), e logo os gráficos de y = f(x) e y =
(x)
são um do outro em relação a esta reta (figura 2). Resumindo, temos o
seguinte resultado.
| Se f tiver uma
inversa, então os gráficos de
y = f(x) e y = (x)
são reflexões um do outro em relação a reta y = x; isto é, cada um
é a imagem especular do outro com relação àquela
reta. |
Funções crescentes ou decrescentes têm inversas
Se o gráfico da função f for sempre crescente ou sempre decrescente sobre o domínio de f, então este gráfico pode ser cortado, no máximo, uma vez por qualquer reta horizontal e, conseqüentemente, a função f deve ter uma inversa.
Uma forma de dizer se o gráfico de uma função é crescente ou decrescente em um intervalo é pelo exame das inclinações de suas retas tangentes. O gráfico de f deve ser crescente em qualquer intervalo, onde f'(x)>0 (uma vez que as retas tangentes têm inclinação positiva) e deve ser decrescente em qualquer intervalo onde f'(x)<0 (uma vez que as retas tangentes têm inclinação negativa). Essas observações sugerem o seguinte teorema.
| Se o domínio de f for um intervalo no qual f' (x)>0 ou no qual f'(x)<0, então a função f tem uma inversa. |
Exemplo
O gráfico de f(x) = 
é sempre crescente em 
,
uma vez que
para todo x. Contudo, não há maneira fácil de
resolver a equação y =
para x em termos de y; mesmo sabendo que f tem uma inversa,
não podemos produzir uma fórmula para ela.
OBSERVAÇÃO. O que é importante entender aqui é que a nossa incapacidade de achar uma fórmula para a inversa não nega a sua existência; de fato, é necessário que se desenvolvam formas de achar propriedades de funções, as quais não têm fórmula explícita para se trabalhar com elas.
