Diferenciação implícita

Em geral, não é necessário resolver uma equação de y em termos de x, a fim de diferenciar as funções definidas pela equação. Para ilustrar isto, consideremos a equação

  xy = 1     

Uma maneira de achar dy/dx é reescrever esta equação como 

da qual tem-se que 

Contudo, há uma outra maneira de obter esta derivada. Podemos diferenciar ambos os lados de xy = 1 antes de resolver para y em termos de x, tratando y como (não-especificado temporariamente) uma função diferenciável de x. Com esta abordagem, obtemos 

Se agora substituirmos   na última expressão, obtemos

que está de acordo com . Este método para obter derivadas é chamado de diferenciação implícita.

Exemplo 1

Use a diferenciação implícita para achar dy/dx se

Resolvendo para dy/dx obtemos 

Note que esta fórmula envolve ambos x e y. A fim de obter uma fórmula para dy/dx que envolva apenas x, teríamos que resolver a equação original para y em termos de x e, então, substituir em . Entretanto, isto é impossível de ser feito; assim, somos forçados a deixar a fórmula dy/dx em termos de x e y.

Exemplo 2

Use a diferenciação implícita para achar se .

Solução. Diferenciado ambos os lados de implicitamente, obtém-se 

de que obtemos 

Diferenciando ambos os lados de implicitamente, obtém-se

Substituindo dentro de e simplificando, usando a equação original, obtemos

Nos Exemplos 1 e 2, os resultados das fórmulas para dy/dx envolvem ambos x e y. Embora seja usualmente mais desejável ter a fórmula para dy/dx expressa somente em termos de x, ter a fórmula em termos de x e y não é um impedimento para achar as inclinações e as equações das retas tangentes, desde que as coordenadas x e y do ponto de tangência sejam conhecidas.