Derivadas de potências racionais de x

A partir da equação que segue, mostramos que a fórmula 

é válida para todos os valores inteiros de n e para n = . Usaremos agora a diferenciação implícita para mostrar que esta fórmula é válida para qualquer expoente racional. Mais precisamente, mostraremos que se r for um número racional, então

sempre que  e   estiverem definidas. Por ora, admitiremos, sem prova que  é diferenciável.

Seja y =  . Uma vez que r é um número racional, pode ser expresso como uma razão de inteiros r = m/n. Assim, y = = pode ser escrito como

Diferenciando implicitamente em relação a x e usando , obtemos 

Desta forma,   pode ser escrito como

Exemplo

A partir de   

Se u for uma função diferenciável de x e r for um número racional, então a regra da cadeia dá lugar à seguinte generalização de