Derivadas das funções trigonométricas inversas

Um problema comum em trigonometria é achar um ângulo cujas funções trigonométricas são conhecidas.

Problemas deste tipo envolvem a computação de funções arco, tais como arcsen x, arccos x, arctg x, e assim por diante. Consideremos esta ideia do ponto de vista de funções inversas, com a meta de desenvolver fórmulas de derivadas para as funções trigonométricas inversas.
   

Identidades para funções trigonométricas inversas

Se interpretamos  x como um ângulo medido em radianos cujo seno é x, e se aquele ângulo for não negativo, então podemos representar  x como um ângulo em um triângulo retângulo, no qual a hipotenusa tem comprimento 1 e o lado oposto ao ângulo de  tem comprimento x (figura a). Pelo Teorema de Pitágoras, o lado adjacente para o ângulo   tem comprimento .

Além disso, o ângulo oposto a   é , uma vez que o co-seno daquele ângulo é x (figura b). Este triângulo motiva várias identidades úteis, envolvendo funções trigonométricas que são válidas para  . Por exemplo:

Analogamente, x e x podem ser representadas com ângulos de triângulos retângulos mostrados na figura c e d. Esses triângulos revelam mais identidades úteis, como por exemplo:

OBSERVAÇÃO. Não se ganha nada memorizando estas identidades; o que é importante é compreender o método usado para obtê-las.

Exemplo

A figura abaixo mostra um gráfico gerado por um computador de y = (sen x). Pode se pensar que este gráfico deva ser a reta y = x, uma vez que (sen x) = x. Por que isto não acontece?

Solução. A relação (sen x) = x é válida no intervalo ; logo podemos dizer, com certeza, que os gráficos de y = (sen x) e y = x coincidem neste intervalo. Contudo, fora deste intervalo, a relação   (sen x) = x não precisa ser válida. Por exemplo, se estiver no intervalo , então a quantidade x -  estará no intervalo . Assim

Desta forma,usando a identidade sen(x-) = -sen x e o fato de que  é uma função ímpar, podemos expressar      (sen x) como

Isso mostra que no intervalo , o gráfico de y =  (sen x) coincide com a reta y = -(x-), a qual tem inclinação -1 e um intercepto x em x = , o que está de acordo com a figura.

Fórmula de derivação

Lembre-se que se f for uma função um a um, cuja a derivada é conhecida, então há duas maneiras básicas para obter uma fórmula de derivação para (x), podemos reescrever a equação y = (x) como x = f(y), e diferenciar implicitamente. Usaremos a diferenciação implícita para obter a fórmula de derivação para y =  x. Reescrevendo esta equação como x = sen y e diferenciando implicitamente, obtemos 

Esta fórmula de derivada pode ser simplificada aplicando-se a fórmula , que foi deduzida a partir do triângulo da figura, resultando:

Assim, mostramos que 

Se u for uma função diferenciável de x, então  e a regra da cadeia produzem a seguinte fórmula generalizada da derivada

O método usado para obter esta fórmula pode também ser usado para obter fórmulas generalizadas de derivadas para outras funções trigonométricas inversas. Estas fórmulas, válidas para -1< u < 1, são